Michel Chasles

Nacido el 15 de noviembre de 1793, en Épernon, Michel Chasles fue un matemático francés que, independientemente del matemático suizo alemán Jakob Steiner, elaboró la teoría de la geometría proyectiva moderna, el estudio de las propiedades de una línea geométrica u otra figura plana que permanecen sin cambios cuando la figura se proyecta en un plano desde un punto que no está ni en el plano ni en la figura.

Chasles nació cerca de Chartres y entró en la École Polytechnique en 1812. Con el tiempo se convirtió en profesor. Su Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géométrie (1837; "Estudio histórico del origen y Desarrollo de métodos geométricos") sigue siendo una referencia histórica estándar. Su relato de la geometría proyectiva, incluida la nueva teoría de la dualidad, que permite a los geómetras producir nuevas figuras a partir de las antiguas, ganó el premio de la Academia de Ciencias de Bruselas en 1829. Para su eventual publicación, Chasles agregó muchos valiosos apéndices históricos sobre griego y geometría moderna.

En 1846 se convirtió en profesor de geometría superior de la Sorbona. En ese año resolvió el problema de determinar la atracción gravitacional de una masa elipsoidal hacia un punto externo. En 1864 comenzó a publicar en Comptes rendus, la revista de la Academia de Ciencias de Francia, las soluciones a una enorme cantidad de problemas basados en su "método de características" y su "principio de correspondencia". La base de la geometría enumerativa está contenida en El método de las características.

Chasles fue un escritor prolífico y publicó muchas de sus memorias originales en el Journal de l’École Polytechnique. Escribió dos libros de texto, Traité de géométrie supérieure (1852; "Tratado sobre geometría superior") y Traité des section coniques (1865; "Tratado sobre secciones cónicas"). Su obra Rapport sur le progrès de la géométrie (1870; "Informe sobre el progreso de la geometría") continúa el estudio en su Aperçu historique.

Chasles también es recordado como la víctima de un célebre fraude perpetrado por Denis Vrain-Lucas. Se sabe que pagó casi 200.000 francos (aproximadamente 36.000 dólares) entre 1861 y 1869 por más de 27.000 documentos falsificados, muchos de los cuales supuestamente fueron de hombres de ciencia famosos, uno supuestamente una carta de María Magdalena a Lázaro, y otro una carta de Cleopatra a Julio César, todo escrito en francés.

Jean-Victor Poncelet

Jean-Victor Poncelet fue uno de los fundadores de la geometría proyectiva. Nació el 1 de julio de 1788 en Metz, Francia, y creció para convertirse en oficial del ejército de Napoleón Bonaparte. Como teniente de ingenieros en 1812, fue gravemente herido durante la campaña rusa y abandonado en Krasnoy, donde se creía que estaba muerto. En cambio, fue hecho prisionero y permaneció en un campamento en Saratov hasta 1814, cuando regresó a Francia. Durante sus dos años en prisión, Poncelet se ocupó de un estudio intensivo de la geometría proyectiva, una faceta de las matemáticas que se ocupa de las relaciones entre figuras geométricas y las imágenes proyectadas (o mapeos).

Poncelet estudió ingeniería militar en Metz (1815-25) y pronto se convirtió en profesor de mecánica en la Ecole d'Application (1825-35). En 1826, al aplicar las matemáticas a las funciones de trabajo de las turbinas y las ruedas hidráulicas, propuso un diseño para la primera turbina de flujo hacia adentro, que no se construyó hasta 1838. En ese año, Poncelet se convirtió en profesor de la facultad de ciencias de París y ocupó este cargo durante los siguientes 10 años, cuando fue nombrado comandante de la Ecole Polytechnique con el rango de General.

Antes de las notables teorías de Poncelet, solo había habido dos desarrollos geométricos trascendentales. Habían tenido lugar durante el período griego y a finales del siglo XVIII. Ambos se referían al eventual tema de la geometría proyectiva. Uno era un teorema descubierto y probado por Gerard Desargues (un matemático francés) en 1639; el segundo fue una ampliación significativa de un teorema anterior (acreditado a Pappus de Alejandría en el siglo IV) por el compatriota de Desargues, Blaise Pascal, en 1640.

Los años de estudio de Poncelet lo llevaron a su creencia personal de que la geometría podría basarse en una serie de principios fundamentales tan generales como aquellos en los que se basaba el álgebra. Llevó esta creencia adelante al sugerir que, dado que cada línea recta y plano se extienden hasta un punto infinito, cualquier punto nuevo en una línea sería el mismo para líneas paralelas específicas (o planos). En este momento de la historia matemática, se aceptaba que se suponía que todos los elementos infinitos del espacio yacían en el plano infinito del espacio, conocido como plano proyectivo.

Al principio, los colegas de Poncelet eran extremadamente reacios a aceptar sus ideas y teorías resultantes. Sin embargo, a medida que pasó el tiempo, varios prominentes matemáticos alemanes no solo los aceptaron sino que contribuyeron a la nueva ciencia emergente. Entre los que reconocieron el avance de Poncelet en el campo estaban Karl Georg Christian von Staudt, Felix Klein, Georg Cantor, Richard Dedekind y Moritz Pasch. Más tarde se les unió Otto Stolz de Austria, quien hizo sus propias contribuciones al campo.

A pesar de estos estímulos aislados, Poncelet finalmente decidió que podría ser más efectivo en su campo elegido volviendo a su trabajo original y aplicando las matemáticas al diseño de máquinas y otras tecnologías.

Murió el 22 de diciembre de 1867 en París sin el reconocimiento que merecía por sus brillantes contribuciones al mundo de los números. Su Tratado sobre las propiedades proyectivas de las figuras (1822) todavía se considera el trabajo pionero en el campo.de la geometría.

Felix Klein

Nacido el 25 de abril de 1849, Düsseldorf, Prusia, Christian Felix Klein fue un matemático alemán cuya visión unificada de la geometría como el estudio de las propiedades de un espacio que son invariables bajo un grupo dado de transformaciones, conocido como Programa Erlanger, influyó profundamente en los desarrollos matemáticos.

Como estudiante en la Universidad de Bonn (Ph.D., 1868), Klein trabajó en estrecha colaboración con el físico y geómetra Julius Plücker (1801-1868). Después de la muerte de Plücker, trabajó con el geómetra Alfred Clebsch (1833-1872), quien dirigía el departamento de matemáticas de la Universidad de Gotinga. Por recomendación de Clebsch, Klein fue nombrado profesor de matemáticas en la Universidad de Erlangen (1872-1875), donde expuso las opiniones contenidas en su Programa Erlanger. Estas ideas reflejaron su estrecha colaboración con el matemático noruego Sophus Lie, a quien conoció en Berlín en 1869. Antes del estallido de la guerra franco-alemana en julio de 1870, estaban juntos en Paris desarrollando sus primeras ideas sobre el papel de los grupos de transformación en geometría y sobre la teoría de las ecuaciones diferenciales.

Klein luego enseñó en el Instituto de Tecnología de Munich (1875-1880) y luego en las Universidades de Leipzig (1880-1886) y Gotinga (1886-1913). Desde 1874 fue editor de Mathematische Annalen ("Anales de Matemáticas"), una de las principales revistas de matemáticas del mundo, y desde 1895 supervisó la gran Encyklopädie der Mathischen Wissenschaften mit Einschluss iher Anwendungen ("Enciclopedia de Matemáticas Puras y Aplicadas"). 

Sus trabajos sobre matemáticas elementales, incluyendo Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus (1908; "Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado"), llegaron a un amplio público. Sus documentos técnicos fueron recogidos en Gesammelte Mathematische Abhandlungen, 3 vol., (1921–23; "Tratados matemáticos recopilados").

Más allá de su propio trabajo, Klein tuvo su mayor impacto en las matemáticas como el principal arquitecto de la moderna comunidad de matemáticos en Gotinga, que surgió como uno de los principales centros de investigación del mundo con Klein y David Hilbert (1862-1943) a la cabeza, durante el período de 1900 a 1914. Después del retiro de Klein, Richard Courant (1888–1972) gradualmente asumió el papel de Klein como el líder organizacional de esta vibrante comunidad.

Julius Plücker

Nacido el 16 de junio de 1801, Elberfeld, ducado de Berg, Julius Plücker fue un matemático y físico alemán que hizo contribuciones fundamentales a la geometría analítica y proyectiva, así como a la física experimental.

Plücker asistió a las universidades de Heidelberg, Bonn, Berlín y París. En 1829, después de cuatro años como profesor ad honorem, se convirtió en profesor en la Universidad de Bonn, donde escribió Analytisch-geometrische Entwicklungen, 2 vol. (1828–31; "El desarrollo de la geometría analítica"). Este trabajo introdujo la notación abreviada (un tipo flexible de "taquigrafía" matemática) y explotó la posibilidad de tomar líneas en lugar de puntos como elementos geométricos fundamentales. A través de esta idea, desarrolló el principio de dualidad en la geometría proyectiva, que establece que si un teorema es verdadero, entonces su teorema dual, obtenido al cambiar elementos duales (líneas y puntos) y sus enunciados correspondientes, también es verdadero. 

En 1834, Plücker se convirtió en profesor de matemáticas en la Universidad de Halle antes de regresar a Bonn dos años después. En Theorie der algebraischen Curven (1839; "Teoría de las curvas algebraicas"), presentó las famosas "fórmulas de Plücker" que relacionan el número de singularidades (puntos en los que una función no está definida o es infinita) en las curvas algebraicas con las de sus curvas dobles. Su System der analytischen Geometrie (1835; "Sistema de geometría analítica") introdujo el uso de funciones lineales en lugar de los sistemas de coordenadas habituales. En System der Geometrie des Raumes en Neuer analytischer Behandlungsweise (1846; "Sistema de la geometría del espacio en un nuevo tratamiento analítico") Plücker incluye una representación más sistemática y pulida de sus resultados anteriores.

Estas investigaciones geométricas corrieron contra la fuerte corriente asociado con la escuela sintética del matemático Jakob Steiner con sede en Berlín. Sintiendo esto, Plücker se alejó de la geometría y se concentró en la física. 

En 1847 comenzó a investigar el comportamiento de los cristales en un campo magnético, estableciendo resultados centrales para un conocimiento más profundo de los fenómenos magnéticos. Primero solo y luego con el físico alemán Johann W. Hittorf, Plücker investigó la desviación magnética delos rayos catódicos. Juntos hicieron muchos descubrimientos importantes en espectroscopía, anticipando al químico alemán Robert Bunsen y al físico alemán Gustav R. Kirchhoff, quien más tarde anunció que las líneas espectrales eran características de cada sustancia química. En 1862, Plücker señaló que el mismo elemento puede exhibir espectros diferentes a diferentes temperaturas. Según Hittorf, Plücker fue el primero en identificar las tres líneas del espectro de hidrógeno, que pocos meses después de su muerte fueron reconocidas en el espectro de la radiación solar.

Después de la muerte de Steiner en 1863, Plücker volvió al estudio de las matemáticas con su trabajo pionero en geometría lineal Neue Geometrie des Raumes gegründet auf die Betrachtung der geraden Linie als Raumelement (1868–69; "Nueva geometría del espacio fundada en el tratamiento de la línea recta como elemento espacial"). Murió antes de terminar el segundo volumen, que fue editado y completado por su talentoso joven alumno Felix Klein.